1.0 Insiemi numerici
Partiamo dal definire cosa intendiamo per “insieme”. In generale, con il termine insieme ci riferiamo ad un raggruppamento di elementi aventi una caratteristica in comune. Nella matematica, in particolare, gli elementi in questione sono i numeri.
Per poter sviluppare al meglio l’argomento, presentiamo alcuni concetti base:
- due insiemi si dicono ‘uguali’ quando contengono gli stessi elementi.
- l’insieme ‘universo’ (U) contiene tutti gli elementi possibili considerati.
- il ‘complemento’ di un insieme A è l’insieme degli elementi dell’insieme universo che non appartengono all’insieme A.
[NB: L’insieme che non possiede alcun elemento è detto ‘vuoto’ e si indica con il simbolo “∅”. Un insieme composto da un solo elemento, invece, è detto insieme ‘unitario’. ]
In particolare, i numeri, costituenti un insieme, possono essere suddivisi in:
- Naturali (1,2,3…)
- Interi (-3,2,-8…)
- Razionali (0,51,-1,3,1/5…)
- Reali (insieme di naturali, interi e razionali)
Analizziamoli nel dettaglio:
INSIEME N
è l’insieme dei numeri naturali: sono numeri naturali tutti i numeri interi non negativi (es: 0,1,2,3… ). Essi sono infiniti. Vengono chiamati anche numeri cardinali e possono essere rappresentati su una semiretta orientata. L’insieme si indica con “N”.
INSIEME Z
è l’insieme dei numeri interi: sono tutti i numeri interi positivi e negativi (es: -3,-2,-1,0,1,2,3). Questo insieme è ordinato e può essere rappresentato su una retta orientata. Vengono chiamati concordi due numeri interi che hanno stesso segno, mentre vengono chiamati discordi due numeri interi di segno opposto. L’insieme si indica con la lettera “Z”.
INSIEME Q
è l’insieme dei numeri razionali: sono quei numeri ottenibili come rapporto tra due numeri interi primi, con denominatore diverso da 0. Un numero razionale viene quindi espresso anche come n/d dove:
- n è numeratore
- d è denominatore
Tale insieme si indica con la lettera Q.
[Ricorda: n e d appartengono all’insieme N]
INSIEME R
è l’insieme dei numeri reali: sono tutti i numeri razionali ed irrazionali. Tale insieme comprende dunque tutti i numeri che è possibile scrivere in forma decimale, con parte decimale finita, infinita periodica o infinita non periodica. Questo insieme viene indicato con la lettera R.
[Ricorda che l’insieme N c Z c Q c Z ( N appartiene a Z che a sua volta appartiene a Q che appartiene a R]
INSIEME C
è l’insieme dei numeri complessi . Questo insieme estende l’insieme dei numeri reali e si indica con la lettera C.
In ciascun insieme possiamo effettuare delle OPERAZIONI, che differiscono in base all’insieme che si sta considerando:
–Insieme N: sono possibili tutte le 4 operazioni
- Addizione
- Sottrazione
- Divisione
- Moltiplicazione
Occorre però tenere presente che mentre addizione e moltiplicazione sono sempre possibili, nell’ambito di questo insieme, ciò non accade per la sottrazione e la divisione: si valutino i seguenti esempi:
Es(1): l’operazione 4 – 9 non ha soluzione nell’insieme dei numeri naturali.
Es (2): l’operazione 3 : 8 non ha soluzione nell’insieme dei numeri naturali.
–Insieme Z: sono possibili tutte e quattro le operazioni. Occorre però tenere presenti alcune regole:
- somma di due interi opposti -> dà come risultato un intero dato dalla differenza fra il maggiore ed il minore e ha come segno il segno dell’addendo maggiore. (-44)+ (+4) = -40
- Somma di due interi concordi -> dà come risultato un intero dato dalla somma fra i due addendi conservando lo stesso segno degli addendi. (-44) + (-4) = -48
- Prodotto di due interi -> dà come risultato il prodotto dei valori assoluti con segno positivo se sono concordi, segno negativo se sono discordi. (-3) * (-6) = + 18; (-3) * (+6) = – 18
- Potenza di un intero -> dà come risultato la potenza del numero con:
– segno negativo se ha base negativa ed esponente dispari: (-2)3 = -8
– segno positivo se ha l’esponente pari: (-2)4 = 16
– Insieme Q: Le operazioni possibili sono:
- Addizione e sottrazione -> Per frazioni con lo stesso denominatore basta sommare o sottrarre i numeratori e il denominatore resta invariato. Per frazioni con diverso denominatore occorre seguire una serie di passaggi:
1-ridurre le frazioni allo stesso denominatore con mcm;
2- dividere il mcm ottenuto con il denominatore di ciascuna frazione e moltiplicarlo per il numeratore;
3- addizionare o sottrarre le frazioni ottenute.
Esempio:
4/5 – 1/2
1- m.c.m. tra 5 e 2 è 10
2- 10:5*4 = 8. 10:2*1= 5
3- 8/10 – 5/10 = 3/10
- Moltiplicazione:
1- si può semplificare in croce e moltiplicare in riga
2- moltiplicare rispetto alla somma: moltiplicare una frazione per una somma di frazioni è uguale a moltiplicare la frazione per ogni addendo e poi sommare
3- sostituendo a due fattori il loro prodotto
- Divisione: si svolge moltiplicando una frazione per l’inverso dell’altra
Le operazioni tra i successivi insiemi implicano l’introduzione di altri concetti quali: potenze, radicali, monomi e polinomi, che verranno trattati nei prossimi appunti.
A questo punto mettiti alla prova con degli esercizi riepilogativi!
Esercizio 1
Completare correttamente la seguente affermazione. La differenza tra due numeri naturali :
- A è sempre un numero naturale
- B è sempre un numero positivo
- C è sempre un numero intero
- D è sempre un numero reale
- E C e D sono corrette
Correzione
La risposta esatta è la E in quanto essendo i numeri naturali tutti numeri interi, il risultato sarà sempre un numero intero, e dunque un numero reale. La A e la B sono errate in quanto, non sono sempre vere: si consideri la seguente differenza 2-7, essa dà come risultato -5, che è sempre un numero intero e dunque reale, ma è negativo (B errata) dunque non appartiene all’insieme dei numeri naturali che invece sono sempre positivi (A errata).
Esercizio 2
Si considerino tutti i numeri divisibili per 3 da 1 a 33 e l’insieme G, l’insieme dei numeri pari divisibili per 3 , compresi tra 1 e 33. Quanti elementi conterrà l’insieme complemento di G?
- A sei
- B cinque
- C undici
- D tre
- E Non è possibile stabilirlo.
Correzione
La risposta esatta è la A. Tutti i numeri divisibili per 3 da 1 a 33, rappresentano l’insieme universo: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 L’insieme G , tra questi, comprende i numeri pari : 6 12 18 24 30. L’insieme complemento sarà rappresentato dai numeri restanti dunque: 3 9 15 21 27 33. Dunque conterrà 6 elementi.
Esercizio 3
Qual è l’unione tra l’insieme {1, 2, 3} e l’insieme {2, 3, 4}?
- A {1, 2, 3, 4}
- B {1, 2, 3}
- C {2, 3, 4}
- D {1,4}
- E { }
Correzione
La risposta corretta è A, cioè l’insieme {1, 2, 3, 4}. L’unione tra due insiemi è l’insieme che contiene tutti gli elementi presenti in entrambi gli insiemi, senza duplicazioni. In questo caso, gli insiemi {1, 2, 3} e {2, 3, 4} hanno in comune gli elementi 2 e 3, quindi l’unione tra i due insiemi è {1, 2, 3, 4}.
Esercizio 4
Qual è l’intersezione tra l’insieme {a, b, c} e l’insieme {b, c, d}?
- A {a, b, c, d}
- B {b, c}
- C {a, d}
- D {b, c, a, d}
- E { }
Correzione
La risposta corretta è B, cioè l’insieme {b, c}. L’intersezione tra due insiemi è l’insieme che contiene gli elementi presenti in entrambi gli insiemi. In questo caso, gli insiemi {a, b, c} e {b, c, d} hanno in comune gli elementi b e c, quindi l’intersezione tra i due insiemi è {b, c}.
Esercizio 5
Qual è il complementare dell’insieme {1, 2, 3, 4} rispetto all’insieme universale {1, 2, 3, 4, 5, 6}?
- A {5,6}
- B {1, 2, 3, 4}
- C {}
- D {1, 2, 3, 4, 5, 6}
- E {1, 2, 3, 4, 5}
Correzione
La risposta corretta è A, ovvero l’insieme {5, 6}. Il complementare di un insieme A rispetto all’insieme universale U è l’insieme di tutti gli elementi presenti in U ma non in A. In questo caso, l’insieme universo è {1, 2, 3, 4, 5, 6} e l’insieme A è {1, 2, 3, 4}. Quindi, il complementare di {1, 2, 3, 4} rispetto a {1, 2, 3, 4, 5, 6} è {5, 6}.
Esercizio 6
Quale insieme numerico include solo numeri interi positivi?
- A Insieme dei numeri naturali
- B Insieme dei numeri razionali
- C Insieme dei numeri reali
- D Insieme dei numeri complessi
- E Nessuna delle precedenti.
Correzione
Risposta corretta A: Insieme dei numeri naturali. L’insieme dei numeri naturali include solo numeri interi positivi (1, 2, 3, 4, …).
Esercizio 7
Quali numeri sono inclusi nell’insieme dei numeri complessi?
- A Tutti i numeri positivi
- B Tutti i numeri negativi
- C Tutti i numeri reali
- D Solo numeri immaginari
- E Numeri reali e immaginari.
Correzione
Risposta corretta E: gli insiemi numerici reali e immaginari si combinano per formare l’insieme dei numeri complessi, che comprende tutti i numeri della forma ‘a + bi’, dove a e b sono numeri reali e ‘i’ è l’unità immaginaria.
Esercizio 8
Quale delle seguenti affermazioni è vera riguardo l’intersezione tra due insiemi?
- A L’intersezione tra due insiemi è sempre un insieme vuoto
- B L’intersezione tra due insiemi non è commutativa
- C L’intersezione tra due insiemi è l’insieme degli elementi che appartengono ad entrambi gli insiemi
- D L’intersezione tra due insiemi è l’insieme degli elementi che non appartengono ad entrambi gli insiemi
- E Nessuna delle risposte precedenti
Correzione
Risposta corretta C: l’intersezione tra due insiemi è l’insieme degli elementi che appartengono ad entrambi gli insiemi.