1.3 Potenze
Si definisce potenza di un numero con esponente maggiore di 1 una moltiplicazione ripetuta della ‘base’ per se stessa tante volte quante sono indicate dall’esponente, ovvero in termini matematici:
an=a*a*a*a…*a (n volte), dove il valore ‘a’ viene chiamato base della potenza mentre il valore ‘n’ viene chiamato esponente. Il numero an si legge “a alla n”.
©matemedie
Esempio: per a=4, n=5 abbiamo 4^5 = 4*4*4*4*4= 1024
é però opportuno tenere a mente che:
– Qualunque numero elevato a 1 dà come risultato se stesso: a^1 = a
– Qualunque numero diverso da 0 elevato a 0 dà come risultato 1: a^0 = 1
- L’espressione 0^0 non ha significato.
D’altro canto, le potenze godono di determinate Proprietà che consentono di semplificare i calcoli e ci permettono di svilupparle in un modo più immediato, vediamole nel dettaglio e con esempi:
- Prodotto di potenze di uguale base : am*an= am+n
Il prodotto di due potenze con stessa base ‘a’ ma esponenti diversi avrà come risultato una potenza di base ‘a’ ed esponente pari alla somma degli esponenti.
es. : 23*22=25
- Quoziente di potenze di uguale base : am : an = am-n
Il quoziente di due potenze con stessa base ‘a’ ma esponenti diversi avrà come risultato una potenza di base ‘a’ ed esponente pari alla differenza degli esponenti.
es. : 23:22=21
- Potenza di una potenza : (am)n = am*n
La potenza di una potenza di base ‘a’ dà come risultato una potenza di base ‘a’ ed esponente pari al prodotto degli esponenti.
es. : (23)2= 26
- Prodotto di potenze di uguale esponente : an * bn= (a*b)n
Il prodotto di potenze con basi diverse ma stesso esponente dà come risultato una potenza che ha come base il prodotto delle basi e come esponente lo stesso esponente in comune alle due basi.
es. : 22*32=62
- Quoziente di potenze di uguale esponente : an : bn= (a:b)n
Il quoziente di potenze con basi diverse ma stesso esponente dà come risultato una potenza che ha come base il quoziente delle basi e come esponente lo stesso esponente in comune alle due basi.
es. : 62:32=22
- Potenza con esponente intero negativo : a-n =1/an
La potenza di un valore ‘a’ con esponente negativo ‘-n’ dà come risultato il reciproco del valore ‘a’ elevato all’esponente con segno positivo, ovvero ‘n’.
es. : 3-2=1/32=1/9