1.5 Monomi e polinomi con proprietà
Si definisce monomio un’espressione letterale formata dal prodotto di numeri e potenze che hanno per base una lettera e per esponente un numero naturale. Un monomio in forma normale è scritto come prodotto fra un numero (chiamato coefficiente) e una o più lettere diverse fra loro, con i relativi esponenti (la parte letterale). Il grado di un monomio è invece la somma degli esponenti della parte letterale. Vediamo subito un esempio:
5 a4 b6
in cui possiamo distinguere i diversi componenti, cioè:
grado= 4+6 = 10
coefficiente=5
Parte letterale =a4b6
A questo punto, definito il concetto di monomio, passiamo alle varie classificazioni:
Due monomi sono simili quando hanno la stessa parte letterale.
- La somma o la differenza di due monomi simili è un monomio che si ottiene sommando algebricamente i coefficienti e lasciando invariata la parte letterale. (es. 12ab – 16 ab + 3ab – 1ab = -2 ab)
- Nel caso del prodotto per i coefficienti si usano le regole relative ai numeri, mentre per le lettere si utilizzano le proprietà delle potenze. Lo stesso accade per il quoziente o la potenza di monomi. (es. 3bc * 4cd = 12bc^2d; 12adb/3bde = 4a/e; (3ab^2c^3)^2 = 9a^2b^4c^6 –
Anche nel caso dei monomi possiamo calcolare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo, applicando le stesse regole viste per i numeri, ovvero:
La parte letterale del massimo comune divisore (M.C.D.) fra monomi è il prodotto delle sole lettere comuni a tutti i monomi, ognuna presa una sola volta e con l’esponente minimo. La parte letterale del minimo comune multiplo (m.c.m.) fra monomi è il prodotto di tutte le lettere presenti nei monomi, ognuna presa una sola volta e con l’esponente massimo. Il coefficiente è rispettivamente il M.C.D. e il m.c.m. dei valori assoluti dei coefficienti, se sono tutti interi; in caso contrario, il coefficiente è 1. (es. 12bcd, 4 abd^2, 3de^3f -> mcm = 12abcd^2e^3f; MCD = d)
A partire dai monomi, però, si può arrivare a una formulazione un po’ più complessa e maggiormente articolata, ovvero dai monomi si passa ai polinomi:
Un polinomio è la somma algebrica di più monomi. Un polinomio è ridotto a forma normale se lo sono i suoi termini e se fra di essi non ci sono monomi simili. (es. 7ab – 3op + 4c)
I polinomi ridotti con uno, due, tre e quattro termini si chiamano rispettivamente monomi, binomi, trinomi e quadrinomi. (quello pocanzi esposto in esempio è un trinomio, ovvero costituito da 3 termini, 3 monomi non simili). Ogni polinomio è costituito da un proprio grado:
Il grado di un polinomio ridotto è il grado maggiore dei suoi termini. Il grado rispetto a una lettera è il maggiore dei gradi dei suoi termini rispetto a quella lettera. (es. 2x^2 + 3x + 4 è un polinomio di secondo grado; es. 3a^4 + 5ab^5 è un polinomio di quarto grado rispetto alla lettera a)
D’altro canto un polinomio può essere caratterizzato anche da uno o più termini che non possiedono la parte letterale, ovvero sono dei coefficienti, si parla allora di termine noto, ovvero il termine formato soltanto da un numero, ossia il monomio di grado 0. (es. 7a^0 = 7); se è presente tale termine noto, il polinomio si definisce omogeneo (es. 3a^4 – 2a^3 + a + 2 è un quadrinomio completo e ordinato di quarto grado, non omogeneo)
Parliamo adesso delle operazioni con i polinomi:
– la somma di due polinomi è un polinomio che ha per termini tutti i termini dei polinomi addendi (es. 6ab + 2a^2 – 3ab – ab – 7a^2 +3a^2 = 2ab -2a^2 = 2a(b-a));
– la differenza di due polinomi è un polinomio ottenuto addizionando al primo l’opposto del secondo. In generale, parliamo di somma algebrica di polinomi.
– il prodotto di due polinomi si ottiene moltiplicando ogni termine del primo per ogni termine del secondo e si addizionano i prodotti. (es. (2ab – 3a) * (4c – b) = 8abc -2ab^2 -12ac + 3ab)
Molto spesso, per esigenze di calcolo, per semplificare la formulazione e/o l’espressione che si sta volgendo, è conveniente riscrivere diversamente un polinomio, pertanto si parla di scomposizione. Scomporre un polinomio in fattori significa scriverlo come prodotto di polinomi. Se un polinomio si può scomporre, si dice che è riducibile. Altrimenti si dice irriducibile.
In figura sono presentati i principali metodi di scomposizione, utili ai fini dello svolgimento della maggior parte dei vari esercizi sui polinomi.
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Analizzandoli nel dettaglio, troviamo:
Raccoglimento totale: è il metodo più semplice per scomporre un polinomio in fattori. Mette in evidenza il/i fattore/i comune/i a tutti i termini del polinomio. E’ basato sulla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione (es. 13a -26ab + 13abc = 13a(1-2b+bc))
Raccoglimento parziale: si mette in evidenza ‘parzialmente’, cioè es. (7ab +2eb +4ec + 14ac = 7a(b+2c) + 2e(b+2c) = (b+2c) * (7a+2e); dunque raccolto parzialmente per primo e quarto membro e idem per secondo e terzo, e alla fine si è applicato il raccoglimento totale attraverso la parentesi in comune (b+2c))
Prodotti notevoli: si riconosce e si riconduce un’espressione ad un prodotto definito ‘notevole’
-differenza di quadrati -> a^2-b^2= (a+b)*(a-b)
-quadrato di un binomio -> (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
-cubo di un binomio -> (a+b)^3 =a^3 +3a^2 b+3ab^2 +b^3
-quadrato di un trinomio -> (a+b+c)^2 =a^2+b^2+c^2 +2ab+2ac+2bc
Monomi e polinomi, oltre a poter essere sommati, sottratti, moltiplicati e a godere delle proprietà e classificazioni viste, possono anche essere i membri di una frazione, difatti si definisce frazione algebrica una frazione che ha proprio dei polinomi sia al numeratore che al denominatore. Il polinomio al denominatore non può essere il polinomio nullo, poichè affinchè una frazione esiste al denominatore non vi può essere un valore pari a 0. (Per le frazioni algebriche, dunque, si andranno a calcolare le condizioni di esistenza). Dunque, in figura, si può notare proprio la distinzione tra frazione numerica e frazione algebrica, con relativa scomposizione e semplificazione:
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