1.7 Sistemi lineari e risoluzione
Abbiamo visto come svolgere particolari tipi di equazioni, al variare del numero/tipologia delle incognite; un’ulteriore considerazione da fare è che molto spesso, per esigenze di calcolo, per risolvere un problema un po’ più complesso, ci si ritrova a raggruppare più equazioni che devono essere contemporaneamente soddisfatte, pertanto si parla di sistema di equazioni: un insieme di due o più equazioni nelle stesse incognite, la cui soluzione deve necessariamente rispettare tutte le equazioni che lo costituiscono. Il sistema è detto lineare se formato da equazioni di primo grado.
Esempio:
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Abbiamo in tal caso un sistema lineare composto da due equazioni di primo grado nelle incognite x ed y: ha come soluzione x = 1 e y = -2 (mentre, ad esempio, x = 0 e y = 0 non rappresenta una soluzione del sistema perché soddisfa solo la prima equazione). A breve, mostreremo come si risolve questo tipo di sistemi.
Prima di applicare qualsiasi metodo risolutivo a un sistema lineare è bene ridurlo a forma normale, cioè nella forma:
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Dunque spostare le incognite nel lato sx delle equazioni e i termini noti (per intenderci, quelli senza x, y ecc) a dx.
Vi sono 4 metodi per risolvere i SISTEMI DI EQUAZIONI:
- metodo di sostituzione;
- metodo del confronto;
- metodo di eliminazione/riduzione/addizione e sottrazione;
- metodo di Cramer.
I metodi maggiormente frequenti sono i primi 2, analizziamoli nel dettaglio con un esempio applicativo!
METODO DI SOSTITUZIONE
ESEMPIO:
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Come si nota, a sx compaiono i termini caratterizzati da x e y, mentre a dx quelli noti. In questo caso si procede innanzitutto con il m.c.m.: 1)tra 2 e 10 il mcm è10 -> (60x-35)-6x-3y = 7 (avendo eliminato i denominatori, costituiti dal numero 10) -> 54x -3y = 42 -> si divide tutto per 3 ->18x – y = 14; analogamente si procede con la 2) mcm = 18 -> 12x +6y -9x -9y = 8 -> 3x -3y = 8; riduciamo allora il sistema a forma normale:
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Adesso ricaviamo una delle due incognite da un’equazione e la sostituiamo nell’altra equazione: nel nostro caso conviene ricavare l’incognita “y” dalla 1° equazione e la sostituiamo nella 2°equazione:
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Ottenuto il valore di y in funzione di x, risolviamo la seconda equazione fino a trovare il valore dell’incognita “x”, per poi sostituirla nell’espressione di y:
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Una volta trovato il valore di “x” lo sostituiamo nella 1° equazione e troviamo il valore dell’incognita “y”:
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METODO DEL CONFRONTO
ESEMPIO:
Per trovare il valore dell’incognita “y” metto a confronto (eguaglio) la “x” ricavata dalla 1° equazione con la “x” ricavata dalla 2° equazione:
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Per trovare il valore dell’incognita “x”, invece, metto a confronto (eguaglio) la “y” ricavata dalla 1° equazione con la “y” ricavata dalla 2° equazione:
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Quindi la soluzione finale è:
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