1.8 Funzioni

1.8 Funzioni

Si definisce funzione dall’insieme A all’insieme B una relazione che a ogni elemento di A associa uno e un solo elemento di B. 

La funzioni numeriche hanno come dominio e codominio due sottoinsiemi di R e sono anche dette funzioni reali di variabile reale. La maggior parte di esse, o comunque quelle maggiormente frequenti nei quiz, esprimono proporzionalità fra le variabili x e y. Esplicitiamo meglio allora il concetto di proporzionalità:

Dato k ∈ R − {0} (ovvero sia k un numero reale diverso da 0) : 

– y = kx esprime una proporzionalità diretta -> all’aumentare di x aumenta y linearmente;
– y = k/x esprime la proporzionalità inversa -> all’aumentare di x diminuisce y linearmente;
– y = kx^2 esprime la proporzionalità quadratica -> un aumento di x induce un aumento quadratico di y ;
– y = ax + b con a, b ∈ R esprime, invece, una funzione lineare. 

Abbiamo accennato precedentemente il concetto di Dominio, in particolare il Dominio naturale di una funzione è il più ampio sottoinsieme di R che può essere preso come dominio: cioè, è costituito da tutti i valori per i quali non perde significato l’espressione analitica che definisce la funzione. È anche detto campo di esistenza. (es. se consideriamo la funzione fratta y = 2/(3+x), sappiamo che il denominatore deve necessariamente essere diverso da 0 -> il campo di esistenza di tale funzione fratta è ‘3+x’ diverso da 0, ovvero la x, affinchè tale funzione non perda significato, dev’essere diversa da -3). Mostrando graficamente, si può ottenere una rappresentazione come nell’esempio:

©Esercizimatematica

A tal punto, passiamo a caratterizzare le funzioni. Una funzione da X a Y può essere iniettiva, suriettiva, biunivoca:

©Openprof

Iniettiva: ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B

©Openprof

Suriettiva: ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di B

©Openprof

Biunivoca: è una funzione sia suriettiva che iniettiva

Nel presentare la funzione suriettiva, si è introdotto il concetto di immagine, per immagine di una funzione s’intende l’insieme dei valori assunti da y al variare di x nel dominio della funzione stessa. Pertanto, introduciamo alcune importanti definizioni applicate direttamente all’insieme immagine, che ci torneranno utili nel proseguo del nostro studio: estremo superiore ed inferiore. Per convenzione definiamo:

• + ∞(detto ‘più infinito’), l’estremo superiore di ogni insieme superiormente illimitato

• – ∞ (detto meno infinito), l’estremo inferiore di ogni insieme inferiormente illimitato

Intuitivamente, si può pensare al simbolo + ∞ come a un elemento “più grande “ di tutti i numeri reali positivi, e -∞  come a un elemento “più piccolo” di tutti i numeri reali negativi. 

Nelle seguenti tabelle sono rappresentate le diverse tipologie di intervalli:

©SOSMatematica

Di una funzione, inoltre, si può determinare anche la sua Funzione inversa, cioè: se indichiamo con f una funzione e con f^(−1) la sua inversa, si ha: b= f^(−1) (a)⇔a= f (b). Una funzione ammette la funzione inversa se e solo se è biunivoca.

Ad esempio: consideriamo la funzione y= 1-log(3x); innanzitutto isoliamo la x, ovvero il termine log⁡(3x)→log⁡(3x)=1-y -> per rimuovere il log, effettuiamo un elevazione ad esponenziale a dx e sx ottenendo 3x =  e^(1-y )→ a tal punto dividiamo tutto per 3 ->x=1/3 * e^(1-y ) -> sostituiamo al posto della x la y e viceversa, ottenendo la funzione inversa, ovvero: y =1/3 e^(1-x ) 

©Andreaminini

Tornando alla discussione circa le componenti e le caratteristiche di una funzione, possiamo dire che un valore ‘a’ è detto zero di una funzione y = f (x) se f (a) = 0 (es. f(y) = 2x +1 -> ‘-1/2’ è uno zero di tale funzione perchè f(-1/2) = 2* (-1/2) + 1 = -1 + 1 = 0). 

Una funzione y = f (x), di dominio D, si dice: 

• crescente in senso stretto in un intervallo I ⊆ D, se ∀ x1, x2 ∈ I , con x1 < x2, risulta f (x1)< f (x2) (es. f(x) = 2x -> f(1) = 2*1 = 2; f(2) = 2*2 = 4 -> f(1) < f(2)); 

• decrescente in senso stretto in un intervallo I ⊆ D , se ∀ x1, x2 ∈ I , con x1 < x2 , risulta f (x1) > f (x2) (es. f(x) = 1/x -> f(1) = 1/1 = 1; f(2) = 1/2 = 0.5 -> f(1) > f(2)) . 

Se la funzione è crescente o decrescente in senso lato, le considerazioni sono analoghe, ma valgono rispettivamente le relazioni f (x1) ≤ f (x2 ) e f (x1) ≥ f (x2) (cioè vale anche l’uguaglianza). 

Una funzione y = f (x), di dominio D, si dice: 

– pari se f(−x)=f(x),∀x∈D; cioè, se cambiando di segno la variabile indipendente x la funzione non cambia di segno; (es. f(x) = 2x^2; f(3) = 2*3^2 = 18; f(-3) = 2*(-3)^2 = 18 = f(3)).
– dispari se  f(−x)=−f(x),∀x∈D; cioè, se cambiando di segno la variabile indipendente x la funzione cambia di segno. (es. f(x) = -2x; f(3) = -2*3 = -6; f(-3) = -2*(-3) = 6 = -f(3))

Più in generale, le funzioni si possono così classificare (+ relativi esempi):

©Crediti: internet

Dunque, in particolare, le funzioni si dividono in 2 categorie: 

1) algebriche

2) trascendenti

Una funzione si dice algebrica se è costituita da operazioni su monomi e polinomi; si dice trascendente se, oltre a contenere polinomi, contiene anche esponenziali, logaritmi, seni, coseni, tangenti, ecc.

Sia le funzioni algebriche che trascendenti a loro volta si suddividono in razionali ed irrazionali.

Una funzione si dice razionale se la variabile x non compare sotto radice; si dice irrazionale se la x compare sotto radice. 

Sia le funzioni razionali che irrazionali si possono dividere, infine, in intere e fratte.

Una funzione si dice intera se la variabile x non compare a denominatore; si dice fratta se l’incognita x compare a denominatore.

A tal punto, facciamo un piccolo focus sulle funzioni logaritmiche ed esponenziali, mentre quelle goniometriche saranno analizzate nell’articolo ‘Goniometria’.

Funzioni Logaritmiche

Una funzione è logaritmica quando il termine x compare come argomento di un logaritmo:

Esempio: y = log (3x+1); in tal caso, affinchè tale funzione non perda di significato, l’argomento del logaritmo dev’essere necessariamente maggiore strettamente di 0 -> 3x + 1 > 0 -> x > -1/3.

La funzione logaritmica ha dominio Dom(f) = (0, +∞), illimitata con immagine Im(f) = (-∞; +∞), biettiva, non sempre pari nè dispari dato il dominio, strettamente crescente.

©Fity.club

Funzioni Esponenziali

Una funzione è esponenziale quando il termine x compare come argomento di un esponenziale:

Esempio: y = 2x^(-2x-1); in tal caso, affinchè tale funzione non perda di significato, la base dell’esponenziale dev’essere necessariamente maggiore strettamente di 0 -> 2x > 0 -> x > 0

Esempio: y = log(-x) ^(-2x-1; la base dell’exp dev’essere necessariamente >0 -> log(-x) > 0 -> log (-x) > log 1 -> -x>1 -> x<-1; in più si deve aggiungere la c.e. del logaritmo, ovvero argomento strettamente > 0 -> -x >0 -> x<0 -> si mette a sistema x< -1 con x < 0 -> x < -1 è la risoluzione finale.

©Studenti.it

La funzione esponenziale ha dominio Dom(f) = (-∞, +∞), illimitata superiormente con immagine Im(f) = (0; +∞), iniettiva ma non suriettiva, nè pari nè dispari dato il dominio, strettamente crescente.

Per concludere la trattazione in merito alle funzioni, possiamo citare una particolare tipologia di esse, ovvero le funzioni definite per casi, tra cui figura la funzione Valore assoluto:      

Esempio:

supponendo x = 3, |3| = 3

supponendo x = -3, |-3| = 3

©YouMath

La funzione valore assoluto ha dominio Dom(f) = (-∞, +∞), illimitata superiormente con immagine Im(f) = [0; +∞), pari, monotona strettamente crescente per x >0, monotona strettamente decrescente per x<0.

©YouMath