2.0 Sistema di coordinate cartesiane sul piano e Geometria analitica
2.0 Sistema di coordinate cartesiane sul piano e Geometria analitica
Il piano cartesiano che usiamo frequentemente per esercizi di vario genere, sia analitico che geometrico, è un sistema di riferimento formato da due rette ortogonali. Nel piano cartesiano le due rette ortogonali orientate, e definite da una unità di misura o metrica, si intersecano in una origine. La retta orizzontale, detta asse x o asse delle ascisse, è orientata a destra mentre la retta verticale, detta asse y o asse delle ordinate, è orientata verso l’alto.
Le due rette intersecandosi formano 4 quadranti, identificati da numeri romani progressivi ordinati in senso antiorario. Essi sono:
I quadrante, i cui punti hanno ascissa e ordinata positive;
II quadrante, i cui punti hanno ascissa negativa e ordinata positiva;
III quadrante, i cui punti hanno ascissa e ordinata negative;
IV quadrante, i cui punti hanno ascissa positiva e ordinata negativa.
A questo punto, passiamo a visionare tutte quelle operazioni che possono svolgersi visualizzando la rappresentazione di figure ed elementi geometrici proprio nel piano cartesiano.
Distanza tra due punti e punto medio di un segmento
Dati due punti A(xA, yA) e B(xB, yB), la misura del segmento AB è data da:
mentre il punto medio M del segmento AB ha coordinate:
Esempio: A(2,2), B(3,1) -> AB = lunghezza segmento = √(3-1)^2 + (1-2)^2 = √2^2 + 1^2 = √5; punto medio M: xM = (2+3)/2 = 5/2 ; yM = (2+1)/2 = 3/2
Più in generale, possiamo definire il cosiddetto luogo geometrico, ovvero l’insieme dei punti γ che godono di una data proprietà. Se il luogo geometrico giace sul piano, su cui è fissato un sistema di riferimento cartesiano, allora esso è individuato da una equazione del tipo F(x, y) = 0.
A tal proposito, diciamo che un punto P0(x0, y0) appartiene al luogo geometrico se e solo se le sue coordinate soddisfano l’equazione del luogo, ossia se F(x0, y0) = 0. L’insieme dei punti appartenenti al luogo geometrico costituisce il grafico del luogo geometrico.
Esempio: data la curva y = 2x-1, il punto P(0,0) non appartiene ad essa poichè (sostituendo ad x e y lo 0) si ottiene: 0 = 2*0 – 1 = -1 -> non è un’identità -> P non appartiene a tale luogo geometrico
Analizzato il piano di coordinate cartesiane, ci concentriamo adesso sulle curve che lo vanno ad ‘abitare’, in particolare la geometria analitica studia e deduce le proprietà di luoghi geometrici mediante il calcolo algebrico.
In alcuni casi nell’equazione F(x, y) = 0 si può ricavare il valore di y in funzione di x (esplicitando la y) in modo da avere l’equazione y = f (x).
Le due equazioni F(x, y) = 0 ed y = f (x) sono dette, rispettivamente,forma implicita e forma esplicita della curva.
Le curve che occupano il piano cartesiano possono relazionarsi a vicenda, oltre che con il piano stesso, vediamo come:
Intersezione tra curve
Si considerino nel piano cartesiano due curve g1 e g2 aventi rispettivamente equazione F(x, y) = 0 e G(x, y) = 0. Si dice che le due curve si incontrano in un punto P0(x0, y0) se esso appartiene sia a g1 che a g2, ossia le coordinate di P0 soddisfano sia l’equazione di g1 sia quella di g2: F(x0, y0) = G(x0, y0) = 0. Pertanto P(x0, y0) deve essere soluzione del sistema.
Dunque, si inseriscono nello stesso sistema le equazioni delle due curve e se ci sarà almeno una soluzione del sistema (come abbiamo visto nell’articolo circa i sistemi di equazioni) allora le curve si intersecheranno in almeno un punto, all’interno del piano cartesiano.
Punti di intersezione con gli assi cartesiani
Gli assi x ed y possono considerarsi i luoghi geometrici rispettivamente di ordinata e ascissa nulla, per cui le loro equazioni sono y = 0 e x = 0 (rispettivamente). Si consideri una curva di equazione F(x, y) = 0. Gli eventuali punti di intersezione con l’asse delle ascisse hanno coordinate del tipo (x0, 0), quelli con l’asse delle ordinate (0, y0). Essi si ottengono risolvendo i sistemi:
La procedura è del tutto analoga al caso precedente, solo che in quest’ultimo un’equazione che compone il sistema è data da quella dell’asse di riferimento con il quale si vuole calcolare l’intersezione.
A questo punto, analizziamo nel particolare i luoghi geometrici:
RETTA
L’equazione della retta è:
y = mx + q
Questa è la forma esplicita, dove m è il coefficiente angolare e indica l’inclinazione della retta, ovvero l’angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse. (es. y = 4x + 3)
Ricorda: Il coefficiente angolare è positivo se e solo se la retta è crescente (nella direzione delle x crescenti), negativo se e solo se la retta è decrescente, nullo se la retta è parallela all’asse delle ascisse (e rappresenta perciò una funzione costante).
L’equazione di una retta può essere espressa anche in forma implicita, cioè: ax + by + c = 0, con a,b,c numeri reali. (es. y +2x – 1 = 0)
Vediamo delle operazioni che si possono effettuare nel caso di una retta nel piano cartesiano:
Fasci propri e retta passante per due punti
Dato un punto P0(x0, y0), tutte le rette passanti per P0 devono avere equazione y–y0 =m(x–x0) m CR dove m è il coefficiente angolare della generica retta passante per P0. È utile osservare che l’equazione è stata ricavata dall’equazione in forma esplicita e, quindi, non comprende la retta x = x0 che passa per P0 ed è parallela all’asse y. L’equazione sopra esposta rappresenta il fascio proprio di rette passanti per P0(x0, y0), detto centro del fascio. Ne consegue che l’equazione della retta(non parallela all’asse y) per due punti A e B è:
dati i punti A(xA, yA) e B(xB, yB) -> (y-yA)/(yB-yA) = (x-xA)/(xB-xA)
Esempio: A(3,2), B(-1,-1) -> (y-2)/(-1-2)=(x-3)/(-1-3) -> (y-2)/(-3)=(x-3)/(-4) ->(-4)*(y-2) = (x-3)*(-3) -> -4y + 8 = -3x + 9 -> -4y + 3x – 1 = 0 è l’equazione della retta in forma implicita passante per tali A e B
Fascio improprio di rette
In geometria elementare per fascio improprio si intende l’insieme di tutte le rette di un piano che sono tra loro parallele. In geometria analitica l’equazione:
y = mx + k con k C R
rappresenta un fascio improprio di rette non parallele all’asse y qualora si pongano m fisso e k variabile. Al variare di k si ottengono tutte le rette del fascio e per k = 0 si ottiene quella passante per l’origine (retta base del fascio). (es. y = 3x + k -> sono tutte rette parallele con coeff. angolare pari a 3, qualunque sia il valore di k, purchè esso sia un numero reale)
L’equazione non è adatta a rappresentare il fascio di rette parallele all’asse y non essendo definito, per tali rette, il coefficiente angolare. Tale fascio ha invece equazione x = h.
Distanza di un punto P0 da una retta
Si possono verificare due casi: A) la retta è espressa in forma esplicita y = mx + q. In tal caso si ha:
Esempio: y = 2x-1 e P(1,-1) -> d = |-1-2+1| / √1+4 = 2/√5
B) la retta è espressa in forma implicita ax + by + c = 0. In tal caso si ha:
Esempio: y – x + 1 =0 e P(1,-1) -> d = |-1*1+1*(-1)+1| / √1+1 = 1/√2
CIRCONFERENZA
È il luogo geometrico dei punti del piano π equidistanti da un punto fisso C(xC, yC) detto centro. L’equazione della circonferenza γ in forma implicita è: x^2 + y^2 + ax + by + c = 0.
Esempio: data la circonferenza di eq. x^2+y^2-4x+4y-1=0, determinare le coordinate di centro e raggio
PARABOLA
La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un dato punto F detto fuoco e da una retta d detta direttrice. L’equazione è: y = ax^2 + bx + c se ha asse verticale, x = ay^2 + by + c se ha asse orizzontale.
Nel primo caso: (d = delta = b^2 – 4ac)
il vertice ha coordinate V = (-b/2a, -d/4a); il fuoco ha coordinate F = (-b/2a, (1-d)/4a); l’asse ha equazione x = -b/2a; la retta direttrice ha equazione y = -(1+d)/4a.
Nel secondo caso:
il vertice ha coordinate V = (-d/4a, -b/2a); il fuoco ha coordinate F = ((1-d)/4a, -b/2a); l’asse ha equazione y = -b/2a; la retta direttrice ha equazione x = -(1+d)/4a.
L’asse di simmetria della parabola è la retta che divide la parabola in due parti uguali; il vertice di una parabola è il punto d’intersezione tra la parabola e l’asse di simmetria; il fuoco della parabola è il punto che realizza la medesima distanza rispetto alla direttrice per ciascun punto della parabola; la direttrice della parabola è la retta che realizza la medesima distanza rispetto al fuoco per ciascun punto della parabola.
Esempio: data la parabola di eq. y=x^2+4x+4, determinare le coordinate di fuoco e vertice
ELLISSE
È il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi F1 ed F2, detti fuochi. Il punto medio del segmento F1F2 si chiama centro dell’ellisse. In questa sezione vengono studiate le ellissi aventi il centro nell’origine degli assi cartesiani ed i fuochi sull’asse x o sull’asse y.
I punti di intersezione degli assi con la curva sono detti vertici dell’ellisse, A1, A2, B1, B2. I segmenti A1A2 e B1B2 rappresentano gli assi di simmetria, l’asse contenente i fuochi è detto asse maggiore o focale, l’altro asse minore.
Si possono presentare due casi, a seconda che i fuochi F1 ed F2 giacciano sull’asse x o y.
L’equazione è: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1, con semiassi ‘a’ e ‘b’ di misura diversa da 0 . I vertici hanno coordinate: V1,2 = (+-a,0) e V3,4 = (0,+-b). I fuochi hanno coordinate: F1,2 = (+-c,0) se a^2 > b^2 (e c= radice di a^2-b^2) oppure F1,2 = (0,+-c) se b^2 > a^2 (e c= radice di b^2-a^2).
Si definisce eccentricità (compresa tra 0 ed 1) una grandezza che misura la deformazione dell’ellisse: e = c/a se a^2>b^2 oppure e = c/b se b^2>a^2.
Esempio: data l’ellisse di eq. 4x^2+9y^2=36, determinare le coordinate dei fuochi e l’eccentricità
IPERBOLE
L’iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi indicati con F1 ed F2.
Il punto medio del segmento F1F2 si chiama centro dell’iperbole. In questa sezione vengono studiate le iperboli aventi centro nell’origine degli assi cartesiani e fuochi su uno dei due assi. L’iperbole non è una linea chiusa, è costituita da due rami distinti ed ha per asintoti due rette di equazione:
y = x* b/a e y = (-x)*b/a.
Queste rette sono tali che la distanza condotta da un punto dell’iperbole ad una di esse tende a zero quando il punto si allontana indefinitamente dal centro.
Se l’iperbole interseca l’asse delle ascisse, l’equazione è: x^2/a^2 – y^2/b^2 = 1, con coefficienti ‘a’ e ‘b’ diversi da 0 . I vertici hanno coordinate: V1,2 = (+-a,0). I fuochi hanno coordinate: F1,2 = (+-c,0) (c= radice di a^2+b^2).
Se l’iperbole interseca l’asse delle ordinate, l’equazione è: x^2/a^2 – y^2/b^2 = -1, con coefficienti ‘a’ e ‘b’ diversi da 0 . I vertici hanno coordinate: V1,2 = (0,+-b). I fuochi hanno coordinate: F1,2 = (0,+-c) (c= radice di a^2+b^2).
Si definisce eccentricità (maggiore di 1) una grandezza che misura la deformazione dell’iperbole: e = c/a se l’iperbole interseca l’asse delle ascisse, oppure e = c/b se l’iperbole interseca l’asse delle ordinate.
Esempio: data l’iperbole di eq. 3x^2-4/3y^2=12, determinare le coordinate dei fuochi e dei vertici
