2.1 Geometria euclidea
La Geometria euclidea è un sistema matematico che consiste nell’assunzione di postulati attribuiti allo scienziato Euclide.
Il punto, la retta ed il piano sono concetti primitivi alla base di tale geometria: i punti si indicano con lettere maiuscole, le rette con lettere minuscole ed i piani con lettere greche minuscole. Per indicare che un punto P appartiene o non appartiene ad una retta r o ad un piano π si scrive: P ∈ r, P ∉ r, P ∈ π, P ∉ π. Si definisce, invece, semipiano ciascuna delle due parti in cui il piano è diviso da una retta r detta origine dei semipiani (a e b).
Vediamo subito uno dei principali postulati della geometria euclidea:
V postulato di Euclide
Data una retta r ed un punto P ∉ r, esiste una ed una sola retta s parallela ad r passante per P ( P∉r, P∈s). Modificando questo postulato si generano altre geometrie, dette non euclidee (iperbolica, sferica, ecc.).
©LascuoaSEI
Da questo postulato, discendono numerose proposizioni e definizioni, oltre che diversi parametri dipendenti proprio dalla formulazione appena vista, e sue varianti. Analizziamo allora le varie componenti che costituiscono questa particolare geometria:
Figure congruenti
Due figure sono congruenti quando, con un movimento rigido, è possibile portare una di esse a coincidere punto per punto con l’altra. (nell’esempio seguente sono riportati un triangolo e un rettangolo)
©Impariamoinsieme
Rette incidenti
Due rette r ed s si dicono incidenti se hanno un solo punto in comune (la loro intersezione). Si scrive r ∩ s = {P}
Rette parallele
Due rette r ed s si dicono parallele r//s se sono complanari (appartengono allo stesso piano) e non hanno nessun punto in comune, r ∩ s = Ø , oppure coincidono r ≡ s
©Impariamoinsieme
Rette sghembe
Le rette non sono complanari (non appartengono allo stesso piano)
©Youmath
Semiretta
Ciascuna delle due parti in cui è divisa una retta da uno qualunque dei suoi punti detto origine della semiretta.
©Esercizimatematica
Segmento AB
Insieme dei punti di una retta r compresi tra i punti A e B.
Asse del segmento AB
È la perpendicolare ad AB condotta per il punto medio H. Si dimostra che è unico e costituisce il luogo geometrico di tutti e solo i punti equidistanti dagli estremi del segmento.
AH=HB
©Lezioniignoranti
Segmenti consecutivi
Hanno solamente un estremo in comune.
Segmenti adiacenti
Sono segmenti consecutivi che hanno per sostegno la medesima retta r.
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Spezzata o poligonale
È una figura formata da più segmenti consecutivi. I segmenti che la compongono si chiamano lati mentre i loro estremi sono i vertici della spezzata.
Esistono vari tipi di spezzate:
- aperta: il primo e l’ultimo vertice sono distinti
- chiusa: il primo e l’ultimo vertice coincidono
- semplice: quando due lati qualunque, non consecutivi, non si intersecano mai
- intrecciata: se almeno due lati, non consecutivi, si intersecano
©Youmath
Poligono
Una spezzata semplice e chiusa definisce una porzione limitata di piano, detta poligono. Esistono due tipi di poligoni:
– convesso: se comunque si scelgono due punti P e Q appartenenti ad esso, il segmento PQ è interamente contenuto nel poligono stesso
– concavo: quando esistono punti P e Q tali che il segmento PQ è parzialmente esterno al poligono.
©Weschool
Effettuata una panoramica circa le diverse componenti costituenti la geometria euclidea e i suoi postulati, ci occupiamo ora di un altro ramo essenziale che contribuisce alla formulazione di regole e definizioni, ovvero gli angoli.
Si definisce angolo ciascuna delle due parti in cui è diviso un piano da due semirette, dette lati, aventi un’origine comune: vertice. L’angolo presenta una bisettrice: è la semiretta che divide l’angolo in due angoli uguali.
Gli angoli possono essere:
- convessi : non contengono il prolungamento dei propri lati
- concavi : contengono il prolungamento dei propri lati
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Essi vengono suddivisi in:
- angolo nullo
- piatto
- giro
- orientato
Angolo nullo
I suoi lati sono due semirette coincidenti e non comprende altri punti oltre quelli dei lati. È un angolo convesso.
Angolo piatto
I suoi lati sono semirette distinte, l’una il prolungamento dell’altra, con l’origine in comune. In pratica coincide con un semipiano, viene considerato convesso e misura π.
Angolo giro
È concavo, i suoi lati coincidono e, quindi, corrisponde all’intero piano. La sua misura è 2π.
Angolo orientato
Si stabilisce quale delle due semirette deve essere considerata la prima e quale la seconda. Se la prima semiretta deve ruotare in senso antiorario per sovrapporsi alla seconda, l’angolo viene considerato positivo, se invece deve ruotare in senso orario, negativo.
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Gli angoli si misurano in:
- gradi
- radianti
ll grado (1°) viene definito come l’angolo la cui ampiezza è pari alla 360-esima parte dell’angolo giro: 1° = 60 primi (60′); 1′ = 60 secondi (60”).
Definiamo, invece, come radiante l’ampiezza dell’angolo che sottende un arco di circonferenza che, rettificato, abbia lunghezza uguale al raggio della circonferenza stessa. Un radiante è l’angolo che si ha in corrispondenza di un arco di lunghezza pari al raggio della circonferenza.
Nella seguente rappresentazione sono riportati i gradi coi rispettivi radianti sulla circonferenza:
©Mungfali
Per il passaggio da gradi a radianti, e viceversa (+ rispettivi esempi):
©Crediti: internet
A valle di tutte le considerazioni effettuate, il poligono in cui esse trovano maggiore espressione, in termini di particolarità, difficoltà e anche sviluppo, è il Triangolo.
Il triangolo è un poligono formato da tre lati dove:
- Ogni lato è minore della somma degli altri due ed è maggiore della loro differenza: AB < CA + BC; CA > AB – BC; BC > AB – CA
- Non vi sono diagonali
- La somma dei tre angoli interni è congruente ad un angolo piatto
- La somma dei tre angoli esterni è congruente a un angolo giro
- Ogni angolo esterno è congruente alla somma dei due angoli interni non adiacenti ad esso
L’altezza è la perpendicolare condotta dal vertice alla retta sostegno del lato opposto. Le tre altezze si intersecano in uno stesso punto O, detto ortocentro, che può essere interno o esterno al triangolo.
La mediana è il segmento che unisce un vertice con il punto medio del lato opposto. Le tre mediane si intersecano in uno stesso punto G, detto baricentro, che divide ogni mediana in due parti, una doppia dell’altra
L’incentro è il punto d’incontro delle tre bisettrici; il circocentro, invece, dei tre assi.
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I triangoli si dividono in:
- scaleno
- isoscele
- equilatero
(al variare dei lati)
- acutangolo
- ottusangolo
- rettangolo
(al variare degli angoli)
Scaleno
è un triangolo avente i lati di diversa lunghezza ed angoli disuguali.
Isoscele
è un triangolo avente due lati congruenti e gli angoli adiacenti alla base congruenti. L’altezza, la mediana e la bisettrice condotte dal vertice opposto alla base coincidono.
Equilatero
è un triangolo avente i tre lati congruenti e gli angoli, anch’essi congruenti, ciascuno di ampiezza di 60°, α= β = γ= 60°.
Relativamente a ciascun lato, mediana, bisettrice, altezza ed asse coincidono.
©SOSmatematica
Acutangolo
è un triangolo avente tutti e tre gli angoli acuti
Ottusangolo
è un triangolo avente un angolo ottuso
Rettangolo
E’ un triangolo avente:
- un angolo retto
- angoli acuti complementari
- ortocentro coincidente con il vertice dell’anglo retto
- circocentro coincidente con il punto medio dell’ipotenusa. Se uno dei cateti rappresenta la base, allora l’altro cateto è l’altezza ad essa relativa.
©Lezioniignoranti
Associati al Triangolo e alle sue proprietà, vi sono i cosiddetti Criteri di congruenza, enunciamoli:
I triangoli ABC e A‘B‘C‘ sono congruenti se:
- 1° criterio: hanno ordinatamente congruenti due lati e l’angolo tra essi compreso
- 2° criterio: hanno ordinatamente congruenti un lato e i due angoli ad esso adiacenti
- 3° criterio: hanno ordinatamente congruenti i tre lati
In questo caso, i due triangoli hanno i lati congruenti a = a’ e b = b’, e l’angolo gamma in comune, compreso tra i lati b e b’.
©Youmath
In questo caso, i due triangoli hanno il lato congruente a = a’, e due angoli beta e gamma in comune, adiacenti al lato in comune.
©Youmath
In questo caso, i due triangoli hanno i 3 lati congruenti a = a’, b = b’ e c = c’.
©Youmath
Un altro luogo geometrico molto ‘sollecitato’ da questo particolare tipo di geometria e dai suoi postulati è la Circonferenza; particolarizziamola ed esplicitiamo i teoremi annessi a quelli euclidei.
In geometria una circonferenza è il luogo geometrico di punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro. La distanza di qualsiasi punto della circonferenza dal centro si definisce raggio. Il diametro è, invece, il segmento che unisce due punti qualunque della circonferenza passando per il suo centro, ed è il doppio del raggio.
Inoltre, si può definire l’arco, ovvero quella parte di circonferenza compresa tra due punti qualsiasi A e B. In più, diciamo che per tre punti non allineati passa una sola circonferenza; una corda, invece, è un segmento che congiunge due punti qualsiasi della circonferenza: qualsiasi corda che passa per il centro rappresenta il diametro.
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A questo punto mettiamo in relazione le componenti della geometria euclidea con la circonferenza stessa:
Posizione di un punto P rispetto ad una circonferenza
Un punto può essere interno, esterno o appartenere ad una circonferenza γ di raggio r e centro O a seconda che la sua distanza da O sia rispettivamente minore, maggiore o uguale al raggio r.
Esempio: data la circonferenza di equazione x^2+y^2=144, il punto P (-1,2) è interno, esterno o appartenente alla circonferenza?
Quella presentata è l’equazione di una circonferenza goniometrica, dunque il centro è l’origine degli assi C(0,0); dunque, innanzitutto calcoliamo il raggio della circonferenza (a = 0, b = 0, c = -144: r=√((-a/2)^2+(-b/2)^2-c)→ r= √(0+0+144)=12; a questo punto determiniamo la distanza tra il punto P e l’origine degli assi, che rappresenta il centro della circonferenza (P(-1,2): d ( P, O ) = √((Xp-Xo)^2+(Yp-Yo)^2)=√(1+4 )= √5 < 12 (= raggio) -> Il punto P è interno alla circonferenza
Posizione di una retta s rispetto ad una circonferenza
Una retta s è interna, esterna o tangente ad una circonferenza γ a seconda che abbia rispettivamente due punti, nessun punto o un solo punto in comune con γ. In quest’ultimo caso, la retta s ed il raggio r sono perpendicolari in T
©Esercizimatematica
Altri due elementi propri della circonferenza sono:
Angolo al centro: angolo che ha il vertice nel centro della circonferenza e per lati le semirette uscenti da esso e passanti per gli estremi di un arco.
Angolo alla circonferenza: angolo che ha il vertice nella circonferenza e i cui lati sono o entrambi secanti la circonferenza oppure uno secante ed uno tangente.
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Per concludere la trattazione, diciamo che valgono i seguenti Teoremi:
Teorema 1
Ogni angolo alla circonferenza è la metà dell’angolo al centro che insiste nello stesso arco.
Teorema 2
Angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono uguali.
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Teorema 3
Ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo.
In corrispondenza del punto C abbiamo l’angolo retto, mentre in corrispondenza dei punti A e B i due angoli acuti, che insieme formano il triangolo rettangolo.
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Teorema 4
Per un punto P esterno alla circonferenza γ si possono tracciare solo due tangenti tali che:
- i segmenti PA e PB sono congruenti;
- la semiretta PO, di origine P e passante per il centro O di γ, è bisettrice dell’angolo APB.
©Matebook