2.2 Goniometria

2.2 Goniometria

La Goniometria è la disciplina che studia gli angoli in relazione agli archi associati ad essi, le funzioni angolari e tutte quelle proprietà algebrico-geometriche che le caratterizzano. Nell’ambito della goniometria, non si può fare a meno di citare sin da subito la circonferenza goniometrica, ovvero una circonferenza di raggio unitario avente il centro coincidente con l’origine O di un sistema di assi cartesiani ortogonali. Il punto A(1,0) è l’origine degli archi, i quali sono considerati positivi se percorsi in senso antiorario, negativi se percorsi in senso orario.

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Il punto P rappresenta l’estremo dell’arco AP a cui corrisponde l’angolo alpha che ha il vertice in O. Poiché la circonferenza goniometrica ha raggio unitario, la lunghezza dell’arco e l’ampiezza dell’angolo in radianti hanno misure espresse dallo stesso numero. Poiché AP = l = α_rad · r allora per r = 1, si ha: AP = l = α_rad . Si può parlare quindi indifferentemente di angolo o di arco sotteso da un certo angolo al centro di una circonferenza goniometrica.

A questo punto possiamo definire il cuore dell’intera trattazione, ovvero le funzioni goniometriche, cioè quelle funzioni che associano alla misura di un angolo un numero reale.

Le funzioni di equazione:

•  y = sen(x) (funzione seno)
•  y = cos(x) (funzione coseno)
•  y = tg(x) (funzione tangente)
•  y = cotg(x) (funzione cotangente)

sono dette funzioni goniometriche elementari. Ad ogni numero reale x è associato uno ed un solo numero sen(x), cos(x), tg(x) e cotg(x), o nessuno.

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Si consideri un punto P sulla circonferenza goniometrica e sia α l’ampiezza in radianti dell’angolo AOP uguale alla lunghezza di AP. Si definiscono due grandezze fondamentali:

• seno di α (senα), l’ordinata di P
• coseno di α (cosα), l’ascissa di P (nel grafico seguente sono visibilmente evidenziati entrambi)

Essendo dunque la circonferenza goniometrica di raggio unitario (=1), sia la funzione seno che quella coseno varia tra -1 e 1; il seno varia tra 0 ed 1 nel 1° quadrante, tra 1 e 0 nel 2°, tra 0 e -1 nel 3°, tra -1 e 0 nel 4°; il coseno varia tra 1 e 0 nel 1° quadrante, tra 0 e -1 nel 2°, tra -1 e 0 nel 3° e tra 0 ed 1 nel 4°

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Visionati graficamente seno e coseno, passiamo alla funzione tangente:

Si consideri la retta t tangente alla circonferenza goniometrica in A(1,0) e sia T il punto di intersezione di t con il prolungamento del lato OP. Si definisce:

• tangente di α (tgα), l’ordinata di T

La tangente è, dunque, pari al rapporto tra il seno e il coseno -> anch’essa varia tra -1 ed 1.

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Analogamente, si rappresenta la funzione cotangente:

Si consideri la retta u tangente alla circonferenza goniometrica in B(0,1) e sia Q il punto di intersezione di u con il lato OP. Si definisce:

• cotangente di α, l’ascissa di Q.

La tangente è, dunque, pari al rapporto tra il coseno e il seno -> anch’essa varia tra -1 ed 1.

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Però, ai fini dei calcoli da effettuare per lo svolgimento dei quiz circa la goniometria, ciò che principalmente ha rilievo è rappresentato dai valori che queste 4 funzioni goniometriche assumono in relazione agli angoli considerati. Esistono pertanto dei valori noti di seno, coseno, tangente e cotangente, che ritornano estremamente utili nello sviluppo delle espressioni goniometriche; essi sono presentati nella seguente tabella:

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Note queste espressioni, il prossimo aspetto da considerare è presentare tutte quelle operazioni che si possono effettuare con le espressioni goniometriche, come la somma, la differenza, la duplicazione e relazioni ad esse connesse. Nella seguente macrotabella sono così riportate (in aggiunta vi sono anche quelle trigonometriche, ovvero quelle applicate ai triangoli):

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A valle di queste formule e valori noti, vediamo subito qualche esempio di una loro applicazione:

• si chiede di determinare per quale valore di k è vera la seguente identità: -2sin⁡x cos⁡x+4[(sin⁡x)^2+(cos⁡x)^2 ]^2=k+1  

innanzitutto si nota al primo termine il seno di 2x, in quanto 2sinxcosx = sin(2x) -> -2sinxcosx=-sin(2x); in parentesi quadra vi è il quadrato del seno sommato a quello del coseno, che rappresenta la prima relazione fondamentale, e tale somma è pari ad 1, che elevato al quadrato dà sempre 1, e che moltiplicato per 4 dà valore 4 -> -sin(2x) + 4 = k + 1 -> k = 3 – sin(2x) è il valore di k che rende vera l’identità sopra richiesta.

• si chiede di determinare a che cosa equivale la seguente espressione: sin(x+π)+cos⁡(x-π/2) – cos(3/2π-x) + sen(π/2)

Procediamo espressione dopo espressione, applicando formule di somma e sottrazione di seno e coseno: 1) sin(x+π) = sinxcosπ + sinπcosx = -sinx + 0 = -sinx

2) cos⁡(x-π/2) = cosxcosπ/2 + sinxsinπ/2 = 0 + sinx = sinx

3) – cos(3/2π-x) = – (cos3/2πcosx + sin3/2πsinx) = -(0 – sinx) = sinx

4) sen(π/2) = 1

-> mettendo insieme tutti i risultati, si ottiene -sinx + sinx + sinx + 1 = 2sinx + 1